О комплексных числах

В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (когда a = 0). С другой стороны, и действительные (т.е. положительные и отрицательные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа a + bi; Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i·i равно –1, т.е.

(1)

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия: «мнимая единица», «мнимое число» и т.п. В настоящее время, известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике на также в физике и технике (теория упругости, электротехника, аэродинамика и др.).

Ниже дано геометрическое истолкование комплексных чисел. Предварительно устанавливаются правила действий над ними; при этом оставляется в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы они согласовывались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

Основные соглашения о комплексных числах

1. Действительное число а записывается также в виде а + 0·i (или а –  0·i)

Примеры. Запись 3 + 0·i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0·i означает –2. Запись означает .

Замечание. Аналогично мы поступаем и в обычной арифметике: запись обозначает то же, что запись 5. Запись 002 – то же, что 2, и т. п.

2. Комплексное число вида 0 + bi называется «чисто мнимым». Запись bi обозначает то же, что 0 + bi .

3. Два комплексных числа a + bi, a' + b'i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. если a = a', b = b'. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказываете следующим соображением. Если бы могло существовать скажем, такое равенство: 2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно быть действительным числом.

Замечание. Мы еще не определили, что такое сложение комплексных чисел. Поэтому, строго говоря еще не вправе утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 2 + 5i.

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой комплексных чисел a + bi и , a' + b'i называют комплексное число (a + a') + (b + b')·i.

Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (–3 + 5i) + (4 – 3i) = 1 – 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же что и 2 и т. д., то выполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7 = 9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т.е. 2i+ 5i = 7i.

Пример 4. (–2 + 3i) + (–2 – 3i) = –4.

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a + bi и a' – b'i называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу 2a.

Замечание. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так как число 2 (которое мы условно записываем 2 + 0i) и число 5i (которое означает то же число , что и 0 + 5i) в сумме дают 2 + 5i.

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a' – b'i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a') + (b – b')·i.

Пример 1. (–5 + 2i) – (3 – 5i) = –8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (–3 + 2i) = 6 + 0i=6.

Пример 3. (3 – 4i) – (3 + 4i) = –8i.

Замечание. Вычитание комплексных чисел можно определить так же, как действие обратное сложению. Именно мы ищем такое комплексное число x + yi (разность), чтобы (x + yi) + (a' + b'i) =  a + bi. Согласно определению имеем:

Согласно условию равенства комплексных чисел

Из этих уравнений находим x = a – a',    y = b – b'.

Умножение комплексных чисел

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a' + b'i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i²= – 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)·(a' + b'i) должно равняться aa' + (ab' + ba') i + bb' i², а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa' - bb') + (ab' + ba') i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

Определение. Произведением комплексных чисел a + bi и a' + b'i называется комплексное число

Замечание 1. Равенство i²= – 1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i², т. е. i·i, равнозначна записи (0 + 1·i) (0 + 1·i). Здесь a = 0, b = 1, a' = 0, b' = 1 Имеем aa' - bb' = –1, ab' - ba' = 0, так что произведение есть –1 + 0·i, т. е. –1.

Замечание 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i² = –1.

Пример 1. (1 – 2i)·(3 + 2i) = 3 – 6i  + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)·(a – bi) = a² + b².

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

Деление комплексных чисел

Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на комплексное число a' + b'i (делитель) – значит найти такое число x + yi (частное), которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 – 4i) : (3 + 2i)

Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i) расширяем её на число (3 – 2i), сопряженное с (3 + 2i). Получим:

Пример 2.

Пример 3.

Здесь проще всего сократить на (-2 + 7i).

Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a + bi. Получим a' + b'i.

Замечание 1. Формулу (1) можно было принять за определение деления.

Замечание 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению мы должны иметь: (a' + b'i)·(x + yi)=(a + bi). Значит, должны удовлетворятся следующие два уравнения:

Эта система имеет единственное решение:

если , т.е. если .

Остается рассмотреть случай a' ² + b' ²= 0. Он возможен лишь тогда, когда a' = 0 и b' = 0, т. е. когда делитель a + bi равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).